最大・最小問題を求めるラグランジュの未定乗数法とは？

うぱうぱ～！今回は最大最小問題を求めるラグランジュの未定乗数方ついて述べていきます。しかし、ラグランジュの未定乗数法は最大最小の候補を決めるだけで、その値が必ず最大最小になるかは関係がありません。候補を見つけるだけなのです。

　ラグランジュの未定乗数法を扱う時は「最大(最小)を求める問題である」「制約条件が決まっている」という二つの条件が必要です。理論的な説明は省くので解き方について述べます。

　以下の問題で利用することができます。

$x^{2}+y^{2}=1のもとで、f(x,y)=2x+3y$ の最大値を求めよ。

　この解き方はまず、式変形をして、それぞれの変数に対して偏微分を行い、連立方程式を解いて解の候補を見つけます。

まず、式を変形します。

$L(x,y,λ)=2x+3y-λ(x^{2}+y^{2}-1)$

次にそれぞれの変数で偏微分を行います。

$\frac{\partial L}{\partial x}=2-2xλ=0$
$\frac{\partial L}{\partial y}=3-2yλ=0$
$\frac{\partial L}{\partial x}=-x^{2}-y^{2}+1=0$

三変数の連立方程式を解けば解の候補を見つけることができます。このようにして最大値を見つけていきます。

　ラグランジュの未定乗数法について理解はできたでしょうか？解くこと自体は難しくないので、ラグランジュの未定乗数法を使う条件である「最大・最小問題」「制約条件の存在」を忘れないように注意しましょう。