正規分布の確率密度関数の式はなぜ難しいのか？

うぱうぱ～！

本日は正規分布の確率密度の式である、

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\{{-\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}(x-\mu)^{2}}\}$

の謎について解いていく。

最初観たときなにてしるの？と思ったけど、統計において重要なので覚えていきましょう！

$\mu$ は統計における母平均であり、 $\sigma$ は統計における母標準偏差である。 $\sigma^{2}$ は母分散である。

正規分布の確率密度の式を特にはこれに必要な条件を満たす必要がある。それが、

この条件を満たすことで正規分布の確率密度となる。

(1)(2)の条件を満たすために $f(x)=a^{-x^{2}}$ があげられる。この式は $f(x)=1$ であり、∞や-∞に飛ばすと0となる。また左右対称である。ここでこれを積分すると

$A=log{a}$ とおき、ネイピア数を使って
$f(x)=a^{-x^{2}}=e^{-x^{2}log{a}}=e^{-Ax^{2}}$ とおいて、積分を行う。

$\displaystyle \int_{-∞}^{∞}e^{-Ax^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{A}} (A=log{a})$

となる。ネイピア数を利用したのは、微分積分しても変化しないからである。

(3)の条件を満たすために積分して出た定数の逆数をかけると

$f(x)=\sqrt{\frac{A}{\pi}}e^{Ax^{2}}$

となる。ここで $a=\sqrt{e}$ とする。

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$
となる。これが標準正規分布である。

次に正規化していない値にも上の式が使えすように $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ と代入して積分をし直す。そして定数の逆数をかける。そうすることで、

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\{{-\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}(x-\mu)^{2}}\}$

正規分布を得ることができる。

正規分布には条件が三つ必要である。その条件のために形を変形させたのが標準正規分布である。さらにそれを正規化するためにデータに正規化を行って代入をする。そうすると正規分布を得ることができる。式が三つの条件を満たす最適式であることが分かりましたね。

読んでくれてありがとう！